Pertemuan
3 TRANSFORMASI
Materi
Prasyarat:
1.
Definisi 1.7 (Fungsi)
Suatu
relasi f dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi dari A ke B jika
dan hanya jika setiap x anggota A ada tunggal y anggota B sehingga (x, y)
anggota f.
Dengan
kata lain:Setiap x anggota A, Ada y anggota B berlaku y =
f(x).
2.
Definisi 1.8 (Fungsi kepada/Surjektif/Onto)
Dengan
kata lain bahwa untuk setiap y anggota B memiliki paling tidak ada x anggota A
demikian sehingga berlaku y = f(x).
x
disebut prapeta dari y dan y atau f(x) merupakan peta dari x.
3.
Definisi 1.9
Misalkan
f fungsi dari himpunan A ke
himpunan B. Fungsi ini disebut fungsi satu-satu (Injektif) dari A ke B jika dan
hanya jika untuk setiap x, y anggota A,
jika x tidak sama dengan y
maka f(x) tidak sama dengan f(y).
Ekuivalen
dengan pernyataan untuk setiap x, y anggota A,
jika x sama dengan y
maka f(x) sama dengan f(y) (Teorema 1.1) dan untuk setiap x, y anggota A,
jika f(x) sama dengan f(y) maka x sama dengan y
(Teorema 1.2)
4.
Definisi 1.10
Fungsi
f dari himpunan A ke himpunan B
disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika f merupakan fungsi kepada
(Surjektif/Onto) dan fungsi satu-satu (Injektif).
Pengertian Transformasi
Definisi
1.11
Misalkan
V bidang Euclides. Fungsi T dari V ke V disebut suatu
transformasi jika dan hanya jika sebuah fungsi yang bijektif.
Pernyataan
di atas dapat diartikan pula bahwa T dikatakan suatu Transformasi jika memenuhi
syarat berikut:
1. Fungsi T dari V ke V
2.
T suatu fungsi yang bijektif, artinya T merupakan fungsi
yang Surjektif dan juga Injektif.
Contoh:
1
Misalkan
V bidang Euclides dan A sebuah titik tertentu pada V. Ditetapkan relasi T
sebagai berikut:
- T(P) = A, jika
P = A.
- Jika P anggota V dan P tidak sama dengan A, maka ada T(P) = Q dengan Q merupakan titik tengah ruas garis AP
Apakah
relasi T merupakan suatu transformasi?
Penyelesaian:
Akan
dibuktikan bahwa:
- T suatu fungsi dari V ke V.
Setiap
unsur di V memiliki peta di V juga.
Ambil
sembarang titik P anggota V,
sudah ada satu titik A anggota V juga sehingga kemungkinan yang terjadi titik P = A atau P tidak sama dengan A.
a.
Untuk P = A, (Definisi 1.7) bahwa ada tunggal A anggota V,
yang merupakan peta dari P sehingga berlaku T(P) = A.
Jelas, bahwa untuk P = A, berlaku untuk setiap P anggota V, ada A anggota V sehingga berlaku T(P)
= A sehingga T merupakan fungsi dari V ke V.
b. Untuk P tidak sama dengan A,
bahwa ada gari AP anggota V
(tunggal), kita tau bahwa pada setiap garis terdapat satu titik tengah. Jadi,
garis AP mempunyai satu titik misalkan Q
(tunggal). Sehingga, Jika Q anggota garis AP dan garis AP anggota V
maka Q anggota V.
Jadi, untuk P tidak sama dengan A,
ada Q anggota V
sehigga berlakuT(P) = Q dan Q titik tengah garis AP. Karena untuk P anggota V
ada T(P) = Q yang tunggal maka T fungsi dari V ke V.
Kesimpulan: untuk P anggota V, ada Q anggota V
demikian sehingga berlaku T(P) = Q sehingga T merupakan fungsi dari V ke V.
berikutnya akan
dibuktikan bahwa:
2.
a. T suatu fungsi
Kepada (Surjektif/Onto).
Ingat bahwa T fungsi Surjektif jika dan
hanya jika untuk setiap y anggota V, ada x anggota V
sehingga berlaku y = T(x).
Penyelesaian:
Ambil
sembarang titik R anggota V,
sudah ada satu titik A anggota V
sehingga kemungkinan yang terjadi titik R = A atau R tidak sama dengan A.
a. Untuk R = A,
(definisi 1.8) bahwa ada tunggal A anggota V,
yang merupakan prapeta dari R sehingga T(R) = A atau R mempunyai prapeta yaitu
A sendiri.
Dengan kata lain bahwa: untyk setiap R anggota V, ada A anggota V
sehingga berlaku A = T(R).
Jelas bahwa T suatu fungsi yang
Surjektif.
b. Untuk R tidak sama dengan A,
berdasarkan Geometri Euclides bahwa ada garis AR anggota V
(tunggal), setiap garis AR terdapat satu titik tengah, misalkan M. Jadi M
adalah prapeta dari R. Akibatnya untuk R tidak sama dengan A, ada M anggota V demikian sehingga berlaku T(M) = R dan M titik tengah garis AR.
Atau untuk setiap R anggota V, ada M anggota V
sehingga berlaku T(R) = M.
Jelas bahwa T suatu fungsi yang
Surjektif.
Kesimpulan:
Karena
setiap R anggota V
mempunyai prapeta oleh fungsi T maka T merupakan suatu fungsi Surjektif.
Akan
dibuktikan bahwa:
2.b. T suatu fungsi Satu-satu (Injektif).
Petunjuknya bahwa T fungsi
Injektif jika dan hanya jika untuk setiap x, y anggota A, jika x tidak sama dengan y maka f(x) tidak sama denganf(y) atau jika x = y maka f(x) = f(y) atau jika f(x) = f(y) maka x = y.
Penyelesaian:
Berdasarkan
petunjuk di atas haruslah mengambil dua buah titik sembarang agar memenuhi
definisi di atas.
Sehigga,
ambil sembarang titik misalkan titik P dan Q anggota V, dan
berlaku T(P) = T(Q). Sudah didefinisikan bahwa ada titik A anggota V.
Dari keadaan ini terdapat dua kasus yaitu P = A, P tidak sama dengan A
dan Q = A, Q tidak sama dengan A.
1) Ambil terlebih
dahulu P = A dan Q = A
Untuk P = A, berlaku T(P) = P = A. Sementara ada T(P) =
T(Q), ini berarti ada juga T(Q) = A sehingga Q = A dan P = Q.
Untuk Q = A, berlaku T(Q) = Q = A. Sementara ada T(P) =
T(Q), ini berarti ada juga T(P) =A sehingga Q = A dan P = Q.
Jelas bahwa, untuk setiap P, Q anggota V, jika T(P) = f(Q) maka P = Q. Sehingga T
merupakan fungsi injektif.
2)
Untuk P tidak sama dengan A, dan Q tidak sama dengan A.
Misalkan kita punya T(P) = P1
dan T(Q) = Q1 maka P1 anggota garis PA dan Q1 anggota garis QA. Karena P1 anggota garis PA maka ruas garis PP1 = AP1 dan Q1 anggota garis QA maka ruas garis QQ1 = AQ1. Karena T(P) =
T(Q) berarti P1 = Q1 dan panjang garis AP1 = AQ1 akibatnya panjang garis PA = QA sehingga titik A, P, dan Q kolinear (pada
titik yang berbeda).
Karena titik A, P, dan Q
kolinear dan sementara P1 = Q1 dengan P1 titik tengah garis PA dan Q1 titik tengah QA maka P = Q.
Jadi, setiap P dan Q anggota V, T(P) = T(Q) terdapat P = Q sehingga T
merupakan fungsi satu-satu.
Kesimpulan karena T fungsi
kepada dan fungsi satu-satu maka T adalah suatu transformasi.
Latihan Soal:
1.
Diberikan garis g pada bidang
Euclides V. Ditetapkan relasi T sebagai berikut:
a. T(P) = P jika P anggota garis g
b. T(P) = Q jika g sumbu dari garis PQ
Apakah relasi T merupakan suatu transformasi?
2.
Diberikan garis g pada bidang
Euclides V dan P anggota V. Ditetapkan relasi T sebagai beriku:
a. T(P) = P jika P anggota garis g
b. T(P) = Q sehingga P titik tengah ruas garis tegak
lurus dari Q ke garis g, jika P bukan anggota g.
Apakah relasi T merupakan suatu transformasi?
Tidak ada komentar:
Posting Komentar