Relasi dan Fungsi pada Mata Kuliah Geometri Transformasi

Pertemuan 2

Relasi dan Fungsi

A. Pengertian Relasi

Definisi 1.1: 

Misalkan A dan B dua buah himpunan tak kosong, dan P(x, y) kalimat matematika terbuka dengan x  A dan  y  B. Relasi R dari himpunan A ke B merupakan suatu himpunan yang anggota-anggotanya pasangan terurut (a, b) dengan a  anggta A dan b anggota B serta P(a, b) bernilai benar.

B. Macam-Macam Relasi

Definisi 1.2:

Misalkan A suatu himpunan tak kosong, R suatu relasi dari A ke A. R disebut relasi refleksi jika dan hanya jika untuk setiap x anngota A berlaku (x, x) anggota R.

Definisi 1.3:

Misalkan A suatu himpunan tak kosong, R suatu relasi pada A (dari A ke A). Relasi R disebut relasi simetri jika dan hanya jika untuk setiap (x,y) anggota R berlaku (y,x) anggota R.

Definisi 1.4:

Misalkan A suatu himpunan tak kosong, R suatu relasi pada A. Relasi R disebut relasi transitif jika dan hanya jika untuk setiap (x,y), (y, z) anggota R berlaku (x,z) anggota R.

Definisi 1.5:

Misalkan A suatu himpunan, R suatu relasi pada A. Relasi R disebut relasi ekuivalen jika dan hanya jika R adalah relasi refleksi, simetri, dan transitif.

Definisi 1.6
Misalkan A dan B dua himpunan, dan R reasi dari A ke B, relasi balikan (invers) dari R yang ditulis R^(-1) adalah {(x,y)|(y,x) anngota R}.

Definisi 1.7
Suatu relasi f dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi dari A ke B jika dan hanya jika setiap x anggota A, ada tunggal y anggota B sehingga (x, y) anggota f.

Definisi 1.8
Misalkan f fungsi dari himpunan A ke himpunan B. Fungsi ini disebut fungsi A kepada B (disingkat fungsi kepada) jika dan hanya jika setiap x, y anggota A ada x anggota A sehingga y = f(x).

Definisi 1.9
Misalkan f fungsi dari himpunan A ke himpunan B. Fungsi ini disebut fungsi satu-satu dari A ke b jika dan hanya jika setiap x, y anggota A, jika x tidak sama y maka f(x) tidak sama f(y).

Definisi 1.10
Fungsi f dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika f merupakan fungsi kepada dan fungsi satu-satu.

Teoema 1.1
Misalkan f fungsi dari A ke B pernyataan untuk setiap x, y anggota A jika x tidak sama dengan y maka f(x) tidak sama dengan f(y) ekuivalen dengan pernyataan untuk seriap x, y anggota A jika x = y maka f(x) = f(y).

Teorema 1.2
Fungsi f dari himpunan A ke B adalah satu-satu jika dan hanya jika untuk setiap x, y anggota A, jika f(x) = f(y) maka x = y.

1. Diberikan A = {1,2,3,4} dan B = {2,3,5}. Relasi R di bawah ini yang merupakan relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah ...

1. {(2,3), (3,2), (5,2)}
2. {(2,3), (2,2), (5,5)}
3. {(2,3), (3,2), (2,5)}
4. {(2,3), (3,1), (4,5)}

2. Diberikan A = himpunan semua bilangan asli, R = {(x,y)|x,y  A, dan

       2x + y = 10}. Domain dan Range dari relasi R  adalah ...

1. Domain = {(1,8), (2,6), (3,4), (4,2)} dan Range = {8,6,4,2}
2. Domain = {(8,1 ), (6,2), (4,3), (2,4)} dan Range = {1,23,4}
3. Domain = {1,2,3,4} dan Range = {8,6,4,2}
4. Domain = {2,4,6,8} dan Range = {1,2,3,4}

3. Diberikan A = {2,4,6,8}, R relasi pada A yang merupakan relasi refleksi

        adalah .......

1. {(2,2), (2,4), (2,6), (4,6), (6,8), (8,2), (8,4)}
2. {(2,2), (2,4), (4,4), (2,6), (6,6), (6,8), (8,8)}
3. {(2,2), (2,4), (2,6), (4,6), (6,6), (6,8), (8,8)}
4. {(2,4), (4,4), (2,6), (4,6), (6,6), (6,8), (8,8)}

Diberikan B = {1,2,3}, R relasi pada B yang merupakan relasi simetri

adalah .......

1. {(2,2), (1,2), (2,1), (1,3)}
2. {(1,1), (3,2)}
3. {(1,1), (2,2)}
4. {(1,2), (2,3), (2,1)}

Diberikan C = {a,b,c,d}, R relasi pada C yang merupakan relasi transitif

adalah .......

1. {(a,b), (b,c), (c,d), (a,c)}
2. {(b,c), (d,c) (c,a),(b,d)}
3. {(a,a), (c,c), (d,d)}
4. {(d,c), (c,c), (d,e), (c,a),(b,d), (d,a)}

6. Diberikan A = {3,4,5}, di antara relasi-relasi di bawah ini yang merupakan

        relasi ekuivalensi pada A adalah .......

1. {(3,3), (4,4), (5,5)}
2. {(3,3), (3,1) (1,3),(5,5)}
3. {(3,3), (4,4), (3,3), (5,5), (4,5)}
4. {(3,1), (1,4), (3,4), (3,3),(4,4), (5,5)}

7. Diberikan R = himpunan semua bilangan real. Relasi-relasi f di bawah ini

        yang merupakan fungsi pada R adalah .......

1. f(x) = (x-1) : x^2 - 5x + 6
2. f(x) = x - 2
3. f(x,y) = {(x,y) | xy = 1}
4. F(x,y) = {(x,y) | 2 +  = 1, x  R dan y  R